domingo, 11 de septiembre de 2011

Funcion logaritmica

La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.




EJEMPLO:
y=f(x)=log2x


ECUACION

Propiedades elementales de los logaritmos :







Son ecuaciones logarítmicas aquellas en las que aparece la incógnita o incógnitas dentro de un logarítmo. Por ejemplo:

log(x+6) = 1 + log(x-3)

"Puede ser conviente repasar el tema: Función logarítmica, antes de continuar""

El logaritmo que suele aparecer en las ecuaciones logarítmicas es el decimal o el neperiano y, normalmente, siempre la misma base en toda la ecuación.

La forma de resolverlas es la misma cualquiera que sea la base del logaritmo, por lo que en este tema vamos a simbolizar los logaritmos como log, entendiendo que la base es 10, mientras no digamos lo contrario

Recuérdese no obstante que en las escenas (ventanas gráficas), el programa llama "log" al logaritmo neperiano y "log10" al decimal. En la resolución gráfica de los ejercicios se usará por tanto log10.

Ejercicio 1.- Resolver la ecuación log(x+6) = log(2x-1).

Parece lógico que para que esta ecuación sea cierta, debe ser: x + 6 = 2x - 1 o sea x = 7.

Funcion exponencial

Graficas


La función exponencial, es conocida formalmente como la función real ex, donde e es el número de Euler, aproximadamente 2.71828.... Esta función tiene por dominio de definición el conjunto de los números reales, y tiene la particularidad de que su derivada es la misma función. Se denota equivalentemente como f(x)=ex o exp(x), donde e es la base de los logaritmos naturales y corresponde a la función inversa del logaritmo natural.
En términos mucho más generales, una función real E(x) se dice que es del tipo exponencial en base a si tiene la forma

ejemplo:

Grafico de la funcion exponencial F(x)=a^ x, con a > 1

F(x)= 2^x




ECUACION


Ecuación exponencial
Una ecuación exponencial es aquella ecuación en la que la incógnita aparece en el exponente.

-Las propiedades de las potencias.

a0 = 1 ·

a1 = a

am · a n = am+n

am : a n = am - n

(am)n = am · n

an · b n = (a · b) n

an : b n = (a : b) n


EJEMPLO:

Resolución:

·Se despeja x en la segunda ecuación:

x = 15 + y

· Se sustituye este valor de x en la primera ecuación:

215+y - 42y = 0 (Pero 4 = 22)

215+y - (22)2y = 0

215+y - 24y = 0 Þ 215+y = 24y Þ

Þ 15 + y = 4y Þ 3y = 15 Þ y = 5

· Se sustituye el valor de y = 5 en x = 15 + y:

x = 15 + 5 = 20

· Por tanto, y = 5 x = 20

Funcion cuadratica

Grafica

En donde a, b y c son números reales (constantes) y a es distinto de 0.


EJEMPLO
f(x) = x2 cuya gráfica es:

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma ax2 + bx + c = 0 donde a, b, y , c son números reales y a es un número diferente de cero.

Ejemplos: x2 - 9 = 0; x2 - x - 12 = 0; 2x2 - 3x - 4 = 0

La condición de que a es un número diferente de cero en la definición asegura que exista el término x2 en la ecuación. Existen varios métodos para resolver las ecuaciones cuadráticas. El método apropiado para resolver una ecuación cuadrática depende del tipo de ecuación cuadrática que se va a resolver. En este curso estudiaremos los siguientes métodos: factorización, raíz cuadrada, completando el cuadrado y la fórmula cuadrática.

-ECUACION CUADRATICA
Factorización:

Para utilizar este método la ecuación cuadrática debe estar igualada a cero. Luego expresar el lado de la ecuación que no es cero como un producto de factores. Finalmente se iguala a cero cada factor y se despeja para la variable.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por factorización:

1) x2 - 4x = 0
2) x2 - 4x = 12
3) 12x2 - 17x + 6 = 0

Nota: No podemos resolver todas las ecuaciones cuadráticas por factorización porque este método está limitado a coeficientes enteros. Por eso tenemos que conocer otros métodos.


Raíz cuadrada:

Este método requiere el uso de la propiedad que se menciona a continuación.

Propiedad de la raíz cuadrada: Para cualquier número real k, la ecuación x2 = k es equivalente a :


Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de raíz cuadrada:

1) x2 - 9 = 0
2) 2x2 - 1 = 0
3) (x - 3)2 = -8


Completando el cuadrado:

Completar el cuadrado conlleva hallar el tercer término de un trinomio cuadrado perfecto cuando conocemos los primeros dos. Esto es, trinomios de la forma:

x2 + bx + ?

Regla para hallar el último término de x2 + bx + ?: El último término de un trinomio cuadrado perfecto ( con a = 1) es el cuadrado de la mitad del coeficiente del término del medio. Esto es; el trinomio cuadrado perfecto cuyos dos primeros términos son
x2 + bx es :


Al completar el cuadrado queremos una ecuación equivalente que tenga un trinomio cuadrado perfecto a un lado. Para obtener la ecuación equivalente el número que completa el cuadrado debe sumarse a ambos lados de la ecuación.

Ejemplos para discusión en clase: Resuelve las siguientes ecuaciones por el método de completar el cuadrado:

1) x2 + 6x + 7 = 0
2) x2 – 10x + 5 = 0
3) 2x2 - 3x - 4 = 0


Fórmula cuadrática:

La solución de una ecuación ax2 + bx + c con a diferente de cero está dada por la fórmula cuadrática:

ejemplos:

x + 4 = 0 x – 2 = 0
-x + 4 = 0 x – 2 = 0
x = 0 – 4 x = 0 + 2
x = -4 x = 2 Estas son las dos soluciones.


-( x + 1) (x + 1) = 9
(x + 1)2 = 9

(x + 1) = ±

FORMULA CUADRATICA